sábado, 19 de julio de 2008

Contribuciones al destino de Aquiles y la flecha,


En capítulos anteriores:

B: Zenón no podía saber que un día la idea de límite de una sucesión llevaría al traste la fuerza argumentativa de sus paradojas.
A: Pero, ¿sabes exactamente de qué manera contribuye el concepto de paso al límite en la superación de, por ejemplo, la paradoja de la flecha?
B: Sólo tengo una idea muy vaga, por lo que te invito, en la medida en que quieras, a que hagas un escrito sobre la cuestión y me lo mandes al mail. De ahí podría salir un buen post.
A: Por supuesto que tendrás tu escrito en breve.

Y, por supuesto, días después Antoni envía el siguiente escrito en el que todo queda aclarado:




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Soy consciente del trabajo que cuesta leer matem´ticas despu´s de tiempo sin hacerlo, pero intentar´ exa e e plicarme con detalle aunque sea sacrificando la brevedad (lo que intentar´ hacer m´ e ınimamente). De las cosas que estar´ bien recordar, la m´s importante quiz´s es la siguiente propiedad sobre los ıa a a n´meros, y es que para cualesquiera n´meros x, y, z se cumple u u x(y + z) = xy + xz. La utilizar´ frecuentemente tanto de izquierda a derecha (en este sentido, a veces se llama propiedad e distributiva) como de derecha a izquierda (llam´ndose en este caso sacar factor com´n). a u No puedo resistir la tentaci´n de decir que lo mejor sobre los c´lculos ser´ que los siguiera uno mismo o a ıa con l´piz y papel, aunque no insistir´ en ello. a e 1. Aquiles y la tortuga Aunque aqu´ ver´ la superaci´n de la paradoja de la flecha, no quer´ escaparme sin mencionar la de ı e o ıa Aquiles y la tortuga, mencionada en el post que tiene por entrada Zen´n se divierte 1 y que aqu´ repito: o ı Aquiles, siendo el corredor m´s veloz, fue retado por la tortuga a una carrera y al ser la tortuga a tan lenta, seguro que a Aquiles no le importar´ dejarle una cierta ventaja. La carrera empez´ y ıa o en el tiempo que tard´ Aquiles en alcanzar la posici´n de la tortuga, ´sta hab´ cambiado y ya o o e ıa no era la de antes, en el tiempo que tardaba Aquiles en alcanzar esta nueva posici´n, ´sta, por oe lenta que fuera la tortuga, hab´ vuelto a cambiar, etc. De manera que Aquiles nunca lleg´ a ıa o alcanzar a la tortuga. Es decir, ni siquiera si la meta estuviera a una distancia infinita de la salida lo har´ ıa. Esto es poco menos que una falacia: se trata de un error de punto de vista. Ve´moslo a la asquerosamente a fr´ luz de la f´ ıa ısica y las matem´ticas. Sup´ngase que la velocidad de Aquiles es constantemente igual a va > 0 a o y tomamos la salida como origen de referencias, y que la tortuga, a una distancia st > 0 de la salida se mueve con una velocidad 0 < sa =" va" st =" st" sa =" st" t =" st" t =" st" t =" st" t=" st" n="0" xn =" n2" yn =" n" xn =" 1," 1 =" 0," yn =" 1," 1 =" 0," n =" 0." 21 =" 0"> 0, as´ lo que se quiere ver3 es que 2 + 4 + 8 + . . . = l, es decir, que esa ı, suma infinita de distancias es justamente l, que es un n´mero finito. Antes de nada, hay que darse cuenta u l l l l que 2 + 4 + 8 + . . . = 2 + 2l2 + 2l3 + . . . + 2ln + . . .. Llamemos sn a la suma parcial n–´sima, esto es, e l l l l + + + ... + n. 2 22 23 2 N´tese que lo que se quiere comprobar, con esta notaci´n, es que l´ sn = l. Veamos qu´ pasa si o o ım e multiplicamos 1 por sn : 2 sn = 2 En efecto, si uno prefija una distancia > 0, basta con tomar un n que sea mayor que log2 1 , que siempre existe pues los n´meros reales tienen una propiedad que se llama “arquimediana”que asegura la existencia de dicho n, y a partir de ese n, ya u todos los t´rminos de la sucesi´n distan de 0 menos que el que hayamos escogido. e o 3 Ejercicio: Conv´nzase por s´ mismo que efectivamente as´ es. e ı ı 2 1 l l l 1l l sn = + 2 + 3 + . . . + n−1 + 2 222 2 2 n l l l l l = 2 + 3 + 4 + · · · + n + n+1 . 2 2 2 2 2 = 1l 1l 1l 1l 1l + + ... + + = + 2 3 n−1 22 22 22 22 2 2n Obs´rvese que si ahora hacemos la resta sn − 1 sn hay muchos t´rminos que se cancelan, concretamente e e 2 queda l l 1 sn − sn = − n+1 . 2 22 Y ahora s´lo queda darse cuenta que sn − 1 sn = (1− 1 )sn y podemos despejar sn teniendo como resultado o 2 2 sn = l 2 − 1 l 2n+1 −1 2 = l 2 − l 2n+1 1 2 =2 l l − n+1 22 . Y ahora, acord´ndonos que l´ 21 = l´ 2n+1 = 0, s´lo queda tomar l´ a ım n ım 1 o ımites y queda l´ sn = l´ 2 ım ım l l − n+1 22 l = 2 = l. 2 Con lo que efectivamente, la suma de infinitas distancias, puede dar lugar a una distancia finita. Sirva el siguiente cuento a modo de despedida: Cuentan que una vez, en pleno desierto, un hombre encontr´ un globo aerost´tico que se bao a lanceaba suspendido sobre su cabeza. De la cesta del globo apareci´ un segundo hombre que o pregunt´ al primero: o —¿Sabe usted d´nde estoy? o El primer hombre se qued´ mir´ndolo durante largo rato, pas´ horas y horas as´ hasta que lleg´ la o a o ı o noche y sigui´ mir´ndolo impasiblemente e incluso les sorprendi´ el alba en esa posici´n y hacia o a o o el mediod´ el que estaba abajo habl´ y lo hizo en una jerga apenas comprensible, pero lo que ıa, o vino a decir fue: —Est´ usted arriba. a A lo que el hombre del globo respondi´: o —Es usted matem´tico, ¿verdad? a —Pues s´ ¿c´mo lo ha sabido? ı, o —Pues mire usted, por cuatro razones: la primera es que usted tard´ mucho en darme la respueso ta; la segunda es que me ha costado much´ ısimo entenderlo; la tercera es que me ha contestado algo que ya sab´ desde antes de preguntarle, y la cuarta es que su respuesta no me ha servido ıa absolutamente de nada. 3

2 comentarios:

Gerolamo dijo...

Gracias BJ por publicarme y (por enlazarme). Ahora tengo un nuevo blog que no es tan monotemático como el anterior (en el que me encontraba encasillado y limitado a la hora de escribir) que iré engordando con el tiempo. En fin, probaturas de principiante.

Antoni

B.J. Turner dijo...

No hace falta decir que ha sido un placer. Con tu escrito se inaugura, tal y como se merece, el capítulo de las "contribuciones".
Mucha suerte con tu nuevo blog.

Un saludo.