Contribuciones al destino de Aquiles y la flecha,

En capítulos anteriores:

B: Zenón no podía saber que un día la idea de límite de una sucesión llevaría al traste la fuerza argumentativa de sus paradojas.

A: Pero, ¿sabes exactamente de qué manera contribuye el concepto de paso al límite en la superación de, por ejemplo, la paradoja de la flecha?
B: Sólo tengo una idea muy vaga, por lo que te invito, en la medida en que quieras, a que hagas un escrito sobre la cuestión y me lo mandes al mail. De ahí podría salir un buen post.
A: Por supuesto que tendrás tu escrito en breve.

Y, por supuesto, días después Antoni envía el siguiente escrito en el que todo queda aclarado:

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Soy consciente del trabajo que cuesta leer matem´ticas despu´s de tiempo sin hacerlo, pero intentar´ exa e e plicarme con detalle aunque sea sacrificando la brevedad (lo que intentar´ hacer m´ e ınimamente). De las cosas que estar´ bien recordar, la m´s importante quiz´s es la siguiente propiedad sobre los ıa a a n´meros, y es que para cualesquiera n´meros x, y, z se cumple u u x(y + z) = xy + xz. La utilizar´ frecuentemente tanto de izquierda a derecha (en este sentido, a veces se llama propiedad e distributiva) como de derecha a izquierda (llam´ndose en este caso sacar factor com´n). a u No puedo resistir la tentaci´n de decir que lo mejor sobre los c´lculos ser´ que los siguiera uno mismo o a ıa con l´piz y papel, aunque no insistir´ en ello. a e 1. Aquiles y la tortuga Aunque aqu´ ver´ la superaci´n de la paradoja de la flecha, no quer´ escaparme sin mencionar la de ı e o ıa Aquiles y la tortuga, mencionada en el post que tiene por entrada Zen´n se divierte 1 y que aqu´ repito: o ı Aquiles, siendo el corredor m´s veloz, fue retado por la tortuga a una carrera y al ser la tortuga a tan lenta, seguro que a Aquiles no le importar´ dejarle una cierta ventaja. La carrera empez´ y ıa o en el tiempo que tard´ Aquiles en alcanzar la posici´n de la tortuga, ´sta hab´ cambiado y ya o o e ıa no era la de antes, en el tiempo que tardaba Aquiles en alcanzar esta nueva posici´n, ´sta, por oe lenta que fuera la tortuga, hab´ vuelto a cambiar, etc. De manera que Aquiles nunca lleg´ a ıa o alcanzar a la tortuga. Es decir, ni siquiera si la meta estuviera a una distancia infinita de la salida lo har´ ıa. Esto es poco menos que una falacia: se trata de un error de punto de vista. Ve´moslo a la asquerosamente a fr´ luz de la f´ ıa ısica y las matem´ticas. Sup´ngase que la velocidad de Aquiles es constantemente igual a va > 0 a o y tomamos la salida como origen de referencias, y que la tortuga, a una distancia st > 0 de la salida se mueve con una velocidad 0 < sa =" va" st =" st" sa =" st" t =" st" t =" st" t =" st" t=" st" n="0" xn =" n2" yn =" n" xn =" 1," 1 =" 0," yn =" 1," 1 =" 0," n =" 0." 21 =" 0"> 0, as´ lo que se quiere ver3 es que 2 + 4 + 8 + . . . = l, es decir, que esa ı, suma infinita de distancias es justamente l, que es un n´mero finito. Antes de nada, hay que darse cuenta u l l l l que 2 + 4 + 8 + . . . = 2 + 2l2 + 2l3 + . . . + 2ln + . . .. Llamemos sn a la suma parcial n–´sima, esto es, e l l l l + + + ... + n. 2 22 23 2 N´tese que lo que se quiere comprobar, con esta notaci´n, es que l´ sn = l. Veamos qu´ pasa si o o ım e multiplicamos 1 por sn : 2 sn = 2 En efecto, si uno prefija una distancia > 0, basta con tomar un n que sea mayor que log2 1 , que siempre existe pues los n´meros reales tienen una propiedad que se llama “arquimediana”que asegura la existencia de dicho n, y a partir de ese n, ya u todos los t´rminos de la sucesi´n distan de 0 menos que el que hayamos escogido. e o 3 Ejercicio: Conv´nzase por s´ mismo que efectivamente as´ es. e ı ı 2 1 l l l 1l l sn = + 2 + 3 + . . . + n−1 + 2 222 2 2 n l l l l l = 2 + 3 + 4 + · · · + n + n+1 . 2 2 2 2 2 = 1l 1l 1l 1l 1l + + ... + + = + 2 3 n−1 22 22 22 22 2 2n Obs´rvese que si ahora hacemos la resta sn − 1 sn hay muchos t´rminos que se cancelan, concretamente e e 2 queda l l 1 sn − sn = − n+1 . 2 22 Y ahora s´lo queda darse cuenta que sn − 1 sn = (1− 1 )sn y podemos despejar sn teniendo como resultado o 2 2 sn = l 2 − 1 l 2n+1 −1 2 = l 2 − l 2n+1 1 2 =2 l l − n+1 22 . Y ahora, acord´ndonos que l´ 21 = l´ 2n+1 = 0, s´lo queda tomar l´ a ım n ım 1 o ımites y queda l´ sn = l´ 2 ım ım l l − n+1 22 l = 2 = l. 2 Con lo que efectivamente, la suma de infinitas distancias, puede dar lugar a una distancia finita. Sirva el siguiente cuento a modo de despedida: Cuentan que una vez, en pleno desierto, un hombre encontr´ un globo aerost´tico que se bao a lanceaba suspendido sobre su cabeza. De la cesta del globo apareci´ un segundo hombre que o pregunt´ al primero: o —¿Sabe usted d´nde estoy? o El primer hombre se qued´ mir´ndolo durante largo rato, pas´ horas y horas as´ hasta que lleg´ la o a o ı o noche y sigui´ mir´ndolo impasiblemente e incluso les sorprendi´ el alba en esa posici´n y hacia o a o o el mediod´ el que estaba abajo habl´ y lo hizo en una jerga apenas comprensible, pero lo que ıa, o vino a decir fue: —Est´ usted arriba. a A lo que el hombre del globo respondi´: o —Es usted matem´tico, ¿verdad? a —Pues s´ ¿c´mo lo ha sabido? ı, o —Pues mire usted, por cuatro razones: la primera es que usted tard´ mucho en darme la respueso ta; la segunda es que me ha costado much´ ısimo entenderlo; la tercera es que me ha contestado algo que ya sab´ desde antes de preguntarle, y la cuarta es que su respuesta no me ha servido ıa absolutamente de nada. 3