miércoles, 9 de julio de 2008

Zenón se divierte 1,


Zenón de Elea era uno de aquellos viejos griegos a los que la idea de que el ser pudiese estar constituido esencialmente desde la multiplicidad y lo perpetuamente móvil le sonaba a desmadre. De igual modo, el de Elea se negaba a aceptar la existencia del vacío y la posibilidad de que el ser continuo, como magnitud, pudiese dividirse infinitamente. Como resultado de este ideario y con la intención probable de polemizar con el pitagorismo, Zenón elaboró las paradojas que llevan su nombre y que pasan por ser los primeros argumentos por reductio ad absurdum que conserva la tradición filosófica. De las cuatro paradojas de Zenón contra el movimiento que recoge Aristóteles en la Física (239b5-240a20) dos han llegado a ser especialmente célebres: la paradoja de Aquiles y la tortuga, y la paradoja de la flecha detenida.

La belleza de ésta primera paradoja es eminentemente narrativa. En una hipotética carrera, Aquiles, "el de los pies ligeros" en el epíteto homérico, nunca alcanza a la tortuga si comete el fatal error de cederle un paso de ventaja. Para cuando Aquiles llegue a alcanzar ese paso concedido a la tortuga, ésta ya habrá recorrido un nuevo espacio que Aquiles deberá ganar, y así sucesivamente. La arrogancia del héroe le salió bien cara.
Algunos siglos después la paradoja de Aquiles y la tortuga tuvo una fantástica revisión en clave comico-lógica en el texto de Lewis Carroll titulado Lo que la tortuga dijo a Aquiles.

La belleza de la paradoja de la flecha es visual. Lo supo Borges en aquel poema de La moneda de hierro, y lo dijo en los versos:

"Me asombra que del griego la eleática saeta
instantánea no alcance la inalcanzable meta"

Jorge Luis Borges, El ingenuo

Si aceptamos que se pueda determinar la posición exacta de una flecha en cada uno de los "ahora" que componen su trayectoria temporal de vuelo, debemos conceder que la flecha que vuela está parada, puesto que de una suma de posiciones fijas no puede resultar movimiento alguno. Si otorgamos que dichos "ahora" son de número infinito entonces, además, la flecha nunca llega a su destino.

Zenón no podía saber que un día la idea de límite de una sucesión llevaría al traste la fuerza argumentativa de sus paradojas. No podía imaginar tampoco que, sucedido esto, su contundencia estética se mantendría incólume.


4 comentarios:

Antoni dijo...

En fin, por alusiones... la idea de límite ya estaba, por ejemplo, en las aproximaciones de pi que hace Arquímedes (con sus infinitos superpoderes) mediante el área de polígonos regulares cada vez de más lados inscritos y circunscritos en la circunferencia; aunque a esta gente, y sobre todo por culpa de Aristóteles (corrígeme si me equivoco), no les acababa de molar (lo del límite, digo).

Y en segundo lugar... ¿sabes exactamente de qué manera contribuye el concepto de paso al límite en la superación de, por ejemplo, la paradoja de la flecha? Sólo intento despertar tu curiosidad.

Sé que sabes (y tú sabes que sé que lo sabes) que no es una crítica a tu escrito ni mucho menos, sino una acotación en el margen de uno de los márgenes de éste, y lo digo por si algún malpensado malpiensa.

B.J. Turner dijo...

Hola Antoni,

Sabía que morderías este anzuelo, y me alegra que intentes aguijonear mi curiosidad. Pero antes de atender a la cuestión del límite que planteas, quisiera dar a César lo que es de César.

Cuando dices que "la idea de límite ya estaba", entiendo que no te refieres a que existía explícitamente en los tiempos en que Zenón formuló las paradojas, ya que Arquímedes es, al menos, un siglo y medio posterior a Zenón. Supongo que quieres decir que la idea de límite no es moderna -no es leibniziana o newtoniana-, sino que en la Antigüedad ya se podía encontrar en resultados matemáticos como los de Arquímedes. Contra eso no me pronuncio.
En cuanto al malvado Aristóteles, pues hombre, no creas que la incidencia del aristotelismo entre los griegos fue tan grande como uno podría imaginar. En primer lugar, tanto Aristóteles como los primeros discípulos fueron acusados de macedonismo, cosa que no ayudó a estabilizar la difusión neutral de las ideas del estagirita. Y, lo que creo es más importante, no existe un aristotelismo en condiciones hasta que Andrónico de Rodas compila el Corpus Aristotelicum, y para entonces el platonismo ya era la voz cantante, Arquímedes ya tenía ganada la gloria y los laureles griegos se veían engullidos por el gigante latino.

De cómo contribuye la idea del paso al límite a que la flecha de Zenón llegue a su diana sólo tengo una idea muy vaga, por lo que te invito, en la medida en que quieras, a que hagas un escrito sobre la cuestión y me lo mandes al mail. De ahí podría salir un buen post.

Un saludo.

Antoni dijo...

Sí, cuando digo "la idea de límite ya estaba" quiero decir exactamente lo que has dicho que quiero decir.

Por supuesto que tendrás tu escrito en breve.

¿Sabes? Me ha encantado eso de morder el anzuelo.

B.J. Turner dijo...

Mientras siguen las negociaciones con Antoni respecto a esa explicación sobre cómo el paso al límite lleva a la flecha de Zenón al lugar que el sentido común le otorga, corrijo la exposición de la paradoja de Aquiles y la tortuga que, tal y como él me informaba el otro día, estaba equivocada en el post. De hecho, el problema se debió a una confusión con la paradoja del estadio. Efectivamente en ambas hay gente corriendo, pero en cada una se tropieza con problemas diferentes.